分辨率測試卡為了從西門子恒星獲得SFR，定位恒星的中心，并在角度φ上讀出單個半徑的數(shù)字值。 函數(shù)I(φ)¹描述了取決于平均值a的數(shù)字值I和由頻率的余弦(2π/ g)和相位校正角度φ-φ₀縮放的幅度b。

圖1. 用于ISO12233中描述的S-SFR方法的正弦西門子星。

因此，在標(biāo)準程序中，假設(shè)頻率是已知的。在混疊的情況下，這個假設(shè)是值得懷疑的。本文的核心思想是檢查空間頻率的假設(shè)是否正確。因此，如果實際頻率與假定頻率顯著不同，我們將其視為混疊的證據(jù)。

第一種方法不僅是從擬合算法獲得幅度和相位，而且還適合頻率。我們選擇實施Gauss- Newton算法以最小化殘差，同時估計等式的所有相關(guān)參數(shù)。

圖2顯示了該算法的迭代過程。從初始估計開始，算法將在每個步驟中最小化殘余誤差，理想地在經(jīng)過合理的迭代量之后接近理想解。雖然如果最初的猜測是好的，這種方法效果很好，但我們發(fā)現(xiàn)很多情況下，當(dāng)初始猜測不好時，這種無約束方法不會導(dǎo)致解決方案。經(jīng)過一些改進后，我們終于決定不向這個方向前進。

圖2.等式4中參數(shù)的迭代估計殘差應(yīng)最小化。

現(xiàn)在使用的方法是僅關(guān)注頻率。標(biāo)準本身描述了獲得幅度和相位的方法。在標(biāo)準方法中，頻率被視為給定。對于混疊分析，對于假定頻率為最高頻率的頻率序列應(yīng)用相同的擬合方法。

圖3. 如ISO12233中所述，適合幅度和相位。上圖：與竇和余弦配合底部：從正弦和余弦獲得的具有正確相位的擬合。

對于每個頻率步長（僅假設(shè)頻率和更低頻率），擬合幅度和相位，然后計算擬合函數(shù)和測量像素值之間的誤差（見圖4）。然后，該算法用于檢查哪個頻率導(dǎo)致最低誤差，然后應(yīng)用于西門子星的所有半徑。對于每個半徑，具有最低誤差的頻率除以假定頻率。因此，如果混疊值等于1，則圖像中的假定頻率和獲得的頻率是相同的。值越低，差異越大。

圖4.擬合函數(shù)與所有空間頻率的像素值之間的最小平方誤差。 在該示例中，測量和假設(shè)的最小值是相同的。

在圖5中，示出了從一系列半徑獲得的所有三個函數(shù)。 根據(jù)標(biāo)準程序獲得空間頻率響應(yīng)。 如所解釋的那樣計算混疊值。擬合誤差以橙色顯示，表明即使頻率發(fā)生變化，產(chǎn)生的誤差也或多或少穩(wěn)定。所有數(shù)值均針對西門子明星的一小部分進行計算。

圖5.所有獲得的函數(shù)與空間頻率的關(guān)系圖。藍色：空間頻率響應(yīng)紅色：別名值黃色：擬合錯誤